TEORIA DE LOS ARBOLES

En ciencias de la informática, un árbol es una estructura de datos ampliamente usada que imita la forma de un árbol (un conjunto de nodos conectados). Un nodo es la unidad sobre la que se construye el árbol y puede tener cero o más nodos hijos conectados a él.

Se dice que un nodo a es padre de un nodo b si existe un enlace desde a hasta b (en ese caso, también decimos que b es hijo de a). Sólo puede haber un único nodo sin padres, que llamaremos raíz. Un nodo que no tiene hijos se conoce como hoja. Los demás nodos (tienen padre y uno o varios hijos) se les conoce como rama.

Los arboles de computación son muy útiles por que permiten ordenamientos de la información y además existen los operadores que nos permiten programarlos en cualquier lenguaje de computación moderno como Pascal, C++ y Java

CIRCUITO HAMILTONIANO

Estos circuitos fueron nombrados por William Rowan Hamilton, inventor del juego de Hamilton que consistía en encontrar un camino hamiltoneano en las aristas de un grafo de un dodecaedro.

Un camino hamiltoniano es un camino que visita cada vértice exactamente una vez. Un grafo que contiene un camino hamiltoniano se denomina un ciclo hamiltoniano ó circuito hamiltoniano si es un ciclo que visita cada vértice exactamente una.

CIRCUITO

A este tambien se le llama ciclo es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vertice y no tiene aristas repetidas.

CIRCUITO SIMPLE:Es un circuito que nio tiene aristas ni vertises repetidos ecepto el punto donde comiensa

GRAFO CONEXO

Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.
Un grafo es fuertemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.

GRAFO SIMPLE

Es aquel que no tiene aristas paralelas ni lazos

GRAFOS

Los grafos son una importante herramienta para los ingenieros en sistemas en sistemas computacionales.

Las redes de cómputo utilizan ciertos formatos llamados topologías.

Un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.

Aparte de estar asociado con el concepto de red de cómputo los grafos son una descripción personal de elementos que están relacionados entre sí.

El primer problema de grafos fue planteado por el matemático suizo Leonar Euler en 1736 y escribió un artículo en los puentes de Königsberg.

Esta ciudad consta de siete puentes estos unían a dos del margen de sus islas y se planteaba la siguiente pregunta: ¿es posible, partiendo de un lugar arbitrario, regresar al lugar de partida cruzando cada puente una sola vez?

En este problema no se podía pasar solo una vez se tenía que pasar dos o más veces por los puentes ya que el numero de estos era impar así que no era posible.

BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann

JOHN VON NEUMANN EN LA MATEMATICA LOGICA

Fue un matemático húngaro-estadounidense de ascendencia judía, que realizó contribuciones importantes en física cuántica, análisis funcional, teoría de conjuntos, ciencias de la computación, economía, análisis numérico, hidrodinámica ,estadística y muchos otros campos de la matemática.
Recibió su doctorado en matemáticas de la Universidad de Budapest a los 23 años
Fue pionero de la computadora digital moderna y de la aplicación de la teoría de operadores a la mecánica cuántica

Von Neumann dio solución a ciertos conflictos matemáticos que eran de tipo lógicos y matemáticos cuánticos en problema lógico dio solución a una crisis sobre la teoría de conjuntos ya que esta fue puesta en tela de juicio con un comentario que va de la siguiente manera:
Sobre el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a si mismo

Entonces Von Neumann introdujo un método de demostración que se llama métodos de los modelos internos que más tarde se convirtió en un instrumento esencial de la teoría de los conjuntos entonces en la aproximación de Von Neuman la clase de todos los conjuntos que no pertenecen a si mismos puede ser constituida pero es una clase de propiedad y no un conjunto
Poster4iormente Von Neuman se enfrento a la a la axiomatización de la mecánica cuántica y en 1926 comprendió que un sistema cuántico podría ser considerado como un punto en un llamado espacio de Hilbert

FALACIA

Una falacia es un razonamiento no válido o incorrecto pero con apariencia de razonamiento correcto. Es un razonamiento engañoso o erróneo (falaz), pero que pretende ser convincente o persuasivo.Todas las falacias son razonamiento que vulneran alguna regla lógica. Así, por ejemplo, se argumenta de una manera falaz cuando en vez de presentar razones adecuadas en contra de la posición que defiende una persona, se la ataca y desacredita: se va contra la persona sin rebatir lo que dice o afirma.La falacias lógicas se suelen clasificar en formales y no formales.

TAUTOLOGIA

En lógica se entiende por tautología aquella proposición cuya tabla de verdad da siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V, F) de cada una de las proposiciones que la integran.

En este caso consideremos la proposición cuya tabla de verdad siempre será verdadera. Es una tautología. Como cuando aseguramos como verdadero que “o llueve o no llueve”.Pero en lógica, lo tautológico se convierte en la esencia del discurso deductivo, o mejor dicho de la inferencia deductiva.Cuando una proposición tiene la forma de un esquema de inferencia y su tabla de valores de verdad es siempre V, entonces dicha proposición, como producto de unas premisas que implican una conclusión, decimos que tiene una forma de argumento válido.

La validez lógica o la tabla de verdad del esquema de inferencia que enlaza el antecedente y el consecuente da siempre el valor de verdad V, y en todos los casos posibles de los valores de verdad de las proposiciones que la integran. Es una tautología.Sea el esquema de inferencia cuya tabla de verdad muestra ser una tautología. Un esquema que podría modelilzarse como: “Si llueve el suelo está mojado y si el suelo está mojado entonces las ruedas de los coches patinan. Por lo tanto si llueve las ruedas de los coches patinan”. Un argumento fácil de comprender.

Lo que quiere decir que todos los argumentos deductivos válidos son, por definición, tautologías.Igual que la lógica, las matemáticas pueden ser consideradas como la ciencia de hacer tautologías particularmente elaboradas de una forma rigurosa. Un teorema es un ejemplo de tautología útil.

Para Ludwig Wittgenstein, la tautológica se trata de una proposición que necesariamente es verdadera (A es igual a A), con independencia de que represente un hecho real o no. De este modo se acepta "a priori" (independientemente de la experiencia) y sirve de premisa obvia.Este tipo de verdades que no dependen de los hechos han sido consideradas de diversas maneras en la historia de la filosofía: verdad necesaria, verdad analítica, verdad de razón.

LUDWIG WITTGENSTEIN

Ludwig Josef Johann Wittgenstein (Viena, Austria, 26 de abril de 1889 — Cambridge, Reino Unido, 29 de abril de 1951) fue un filósofo y lingüista austriaco, posteriormente nacionalizado británico. En vida publicó solamente un libro: el Tractatus logico-philosophicus, que influyó en gran medida a los positivistas lógicos del Círculo de Viena, movimiento del que nunca se consideró miembro. Tiempo después, el Tractatus fue severamente criticado por el propio Wittgenstein en Los cuadernos azul y marrón y en sus Investigaciones filosóficas, ambas obras póstumas. Fue discípulo de Bertrand Russell en el Trinity College de Cambridge, donde más tarde también él llegó a ser profesor. Murió cerca de Elizabeth Anscombe, quien se encargó de que recibiera los auxilios de la Iglesia.

En un sentido amplio llamamos “tautología” a toda repetición del mismo pensamiento con distintas palabras, como cuando decimos “lo que no se puede hacer no se puede hacer, y además es imposible”. La filosofía neopositivista considera que los enunciados que desde Hume se han denominado analíticos son meras tautologías: si digo “el triángulo tiene tres ángulos”, “los solteros son las personas no casadas”, el pensamiento que aparece en el predicado (tener tres ángulos, ser persona no casada) ya está pensado en el sujeto (“triángulo” o “soltero”), aunque de un modo implícito. Estos enunciados no son informativos, no dan información que no esté ya pensada en el concepto sujeto, y su verdad es una mera fidelidad a las leyes de la lógica, no me hace falta contrastar el enunciado con el mundo, con la realidad para saber que es verdad.En un sentido más estricto, y desde que Wittgenstein acuñó el término en el “Tractatus”, se llaman “tautologías” todas las proposiciones compuestas que cuando se comprueba su verdad mediante las tablas de verdad toman el valor “verdadero” para cualquiera de los valores de los enunciados elementales. Para comprender qué se quiere decir con esto fijémonos en los siguientes enunciados, su traducción en la lógica de enunciados, y en sus correspondientes tablas de verdad:
Enunciado 1: “Sócrates escribió mucho y Platón también” = “p Λ q”
Enunciado 2: “llueve y no llueve” = “p Λ ¬ p”
Enunciado 3: Dios existe o Dios no existe” =“p ν ¬ p”p q p Λ q p ¬ p p Λ ¬ p p ¬ p p ν¬p V V V V F F V F V
V F F V F F V F V
F V F F V F F V V
F F F F V F F V V
Enunciado 1: p Λ q Enunciado 2: p Λ ¬ p Enunciado 3: p ν ¬ p

DOBLE IMPLICACION

La doble implicacion de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; p si y sólo si q, se representa por p ↔ q su tabla de verdad está dada por:

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Jerarquia de Operadores.

Combinando los operadores anteriores podemos formar nuevas expresiones.
En términos formales la negación de p, deberá ser ( ¬ p), así como la conjunción de p y q sería (p ^ q). Con el uso de paréntesis evitamos la ambiguedad, por ejemplo ¬p ^ q podría significar dos cosas distintas

Por un lado podría significar: (( ¬ p) ^ q) O también: ( ¬ (p ^ q)).

En la práctica para no usar tantos paréntesis se considera que el operador ¬ tiene jerarquia sobre ^, v, →, ↔. Así ¬ p ^ q significa (( ¬ p)^ q).En algunos casos se considera ^, v tienen mayor jerarquía que ↔ por lo que p ↔ q v r sería (p ↔ (q v r)) y también que ^ tiene prioridad sobre v, por lo que p ^ q v r sería (p ^ q) v r.
Así por ejemplo, en electrónica, para representar circuitos lógicos se utiliza + en lugar de v y · en lugar de ^.

Por lo que p·q+r es ((p ^ q) v r).

En estos apuntes no se considerará jerarquía en ninguno de los operadores binarios ^, v, →, ↔ por lo que utilizaremos paréntesis. Sólo ¬ tiene prioridad sobre los demás operadores. Esto nos ahorrá algunos paréntesis, por ejemplo: ((( ¬ p) ^ q) v r) se representa por ( ¬ p ^ q) v r.

IMPLICACION

La implicación de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q, y su tabla de verdad está dada por:

p q p→q

V V V

V F F

F V V

F F V

Con respecto a este operador binario, lo primero que hay que destacar es que no es conmutativo, a diferencia de los dos anteriores la conjunción y la disyunción. El único caso que resulta falso es cuando el primero es verdadero y el segundo falso.
Por ejemplo, si p es llueve y q es hay nubes entonces:

p → q es si llueve entonces hay nubes.

También cabe señalar que este viene a ser el operador más importante en el proceso deductivo y que la mayoría de las leyes de inferencia y las propiedades en matemáticas se pueden enunciar utilizando este operador.

DISYUNCIÓN

La disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria que da por resultado p ó q, notación p v q, y tiene la siguiente tabla:

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

Con la disyunción a diferencia de la conjunción, se representa dos expresiones y que afirman que una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdera para que la expresión p ∨ q sea verdadera.
Como por ejemplo la expresión: Los tenis se le entregará a Pepe o los tenis se le entregará a Luis significa que si va uno de los dos, los tenis se le entrega, si van los dos también se entrega y solamente en caso de que no vaya ninguno de los dos no se debe entregar.
Aquí se debe de tener algo de precausion, porque en español muchas veces utilizamos la disyunción para representar otros operadores que aparentemente son lo mismo, pero que tienen diferente significado.
En español tenemos tres casos de disyunción:La llamada y/o, lógica o matemática, que se utliza en computación como el operador OR, este operador corresponde al mencionado anteriormente p v q y ya se mostró su tabla de verdad.
La “o” excluyente, que algunos también le llaman o exclusiva, y que indica que una de las dos proposiciones se cumple, pero no las dos. Este caso corresponde por ejemplo a: Hoy compraré un libro o iré al cine; se sobrentiende que una de las dos debe ser verdadera, pero no la dos. Se representa por p XOR q y su tabla de verdad es:

p q p XOR q

V V F

V F V

F V V

F F F

Por último, también es muy común utilizar una disyunción como la siguiente: El menú incluye café o té. En este caso se esta dando una disyuntiva diferente pues no se pueden las dos simultáneamente como en el caso anterior, pero aquí si es válido el caso donde las dos son falsas.
Es el caso “no ámbas”, se puede representar por p § q y su tablas es

p q p § q

V V F

V F V

F V V

F F V

Nota: El último símbolo no es estándar y puede haber varias formas de representarlo.Un buen ejercicio consiste en enunciar varias expresiones del español que utilizando los conectivos y o para analizar cuál de los operadores es.
Tambien se debe de tener mucho cuidado cuando se traduce del lenguaje usual por las costumbres, muchas veces depende del contexto o de la situación específica en la que se usan los conectivos, por ejemplo si decimos: Se pueden estacionar alumnos y maestros, en realidad se está queriendo decir un operador disyuntivo, en este caso la o matemática, o sea el primer operador que corresponde a la primera tabla de esta sección.

CONJUNCION

La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q, y su tabla de verdad es:

p q p^q

V V V

V F F

F V F

F F F

La conjunción nos sirve para indicar que se cumplen con dos condiciones simultáneamente, así por ejemplo si tenemos:
La función es creciente y está definida para los números positivos, utilizamosp ^ q, donde
p: la función es crecienteq: la función esta definida para los números positivos Así también: p ^ q, dondep: el número es divisible por 3q: el número está representado en base 2se lee: El número es divisible entre 3 y está representado en base 2.
Nota: Observamos que para la conjunción p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad

En el diccionario encontramos las siguientes palabras de la siguiente manera:

Lógica: Razonamiento, método o sentido común.

Matemáticas: Ciencia que estudia las cantidades, sus relaciones y sus propiedades basándose exclusivamente en el razonamiento lógico.

Para la Lógica Matemática la encontramos de la siguiente manera:

“La que emplea el método y los símbolos de las matemáticas”

La Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano, quien fue un matemático y filosofo italiano, conocido por sus atribuciones a la teoría de conjuntos, en esencia la lógica matemática es la lógica de Aristóteles ya que estaba en los principios del filosofo griego Aristóteles.

La Lógica Aristotélica supone que la mente reproduce solo la realidad, la existencia de las cosas tal y como son, por ello son una ciencia objetiva que se dedica a estudiar conceptos, desglosándolos en predicables y predicamentos.

La Lógica Matemática es un sub campo de la Lógica y las Matemáticas esta estudia los sistemas formales en el que codifican conceptos intuitivos de objetos Matemáticos como conjuntos números demostraciones y computación.

La Lógica Matemática suelen dividirse en cuatro subcampos:

*Teoría de los Modelos: Es el estudio de la representación de conceptos matemáticos en términos de la teoría de los conjuntos, o el estudio de modelos que subyacen en sistemas matemáticos.

La teoría de modelos se preocupa de lo que puede probar con sistemas matemáticos dados, y como estos sistemas se relacionan entre si.

Se preocupa particularmente de que sucede cuando tratamos de extender algún sistema agregando nuevos axiomas.

*Teoría de la Demostración: Trata a las demostraciones como objetos matemáticos facilitando su análisis mediante técnicas matemáticas. Las demostraciones suelen presentarse como estructuras de datos inductivamente definidas que se construyen de acuerdo con los axiomas y reglas de inferencias de los sistemas lógicos. En este sentido, la teoría de la demostración se ocupa de la sintaxis, en contraste como la teoría de los modelos, que trata con la semántica.

*Teoría de la recursión: La recursión es un concepto muy utilizado en programación. Se basa en expresar el resultado de un problema como operaciones aplicadas sobre una instancia reducida del mismo problema, hasta que se llega a un caso donde el problema queda bien definido.

*Teoría de los conjuntos: En nuestro universo existe una infinidad de conjuntos, todas las cosas que percibimos a nuestro alrededor por medio de los sentidos, hacen que cada objeto se clasifique por sus características esenciales dentro de un conjunto específico.
Conjunto: colección de objetos llamados elementos del conjunto los cuales van separados por comas y entre llaves.
L={a,b,c,d}

En un conjunto no se distinguen repeticiones de los elementos {a,b,c,d} = {a,b,c,d, a,c,d} y el orden no tiene ningún significado {a,b,c,d} = {b,a,d,c}.
Así vemos que la Lógica Matemática no ve la Lógica de las Matemáticas sino se ve la Matemática de la Lógica


http://www.alipso.com/monografias/2251_recursion/

http://148.202.148.5/cursos/cc209/teoriacomp/MODULO_0/TEORIA_0_1.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_aristot%C3%A9lica
Diccionario avanzado para Bachillerato

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_aristot%C3%A9lica

http://es.wikipedia.org/wiki/Recursi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_Relatividad

http://es.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peano.